仓储能力约束和缺货下两易逝品联合采购动态批量决策

Wagner和Whitin (1958) [1]最早研究了企业生产的动态批量问题, 此后, 大量文献对W-W模型进行拓展, 其中包括考虑易逝品的动态批量模型[2,3], 但这些早期的易逝品动态批量的研究文献中都是简单的拓展W-W模型, 都假定易逝品的库存损耗率和库存持有成本函数独立于库存持有时间, 没有真正刻画易逝品的特性。对于易逝品来讲, Hsu (2000) [4]首次指出易逝品的损耗率和库存持有成本函数独立于库存持有时间的动态批量模型是不符合实际情况的, 在递增凹函数的生产成本和库存持有成本下, 不允许缺货也不允许延迟交货的假设下, 构建了时间依赖的 (age-dependent) 库存损失率和库存持有成本函数的单易逝品动态批量模型, 得出了最优解的两个结构性质, 在此基础上给出动态规划算法并分析算法复杂度。此后, 拓展此研究的文献主要有:Hsu (2003) [5];Chu等 (2005) [6];Peng等 (2008) [7];Bai等 (2008, 2010) [8, 9];Sargut和Isik (2017) [10]。但以上文献都假设仓储能力无限大, 这一假设也并不符合现实情况, 现实中由于产品的易逝性, 对仓储条件的要求更高, 易逝品企业面临的仓储能力约束比耐用品企业更加严峻。农产品经销行业流传的“无仓储, 不生鲜”的说法也证明了仓储能力约束是制约易逝性产品运营效率的一个主要原因。另外, 以上易逝品动态批量文献都是研究单产品采购 (生产) 问题, 没有涉及多产品联合采购问题。由于多产品联合采购能够给企业带来范围经济, 因此多产品联合采购问题也越来越受到企业的关注。

本文依据易逝品的特征和企业面临的现实情况, 研究了一个多周期的两易逝品联合采购 (生产) 模型, 企业面对外生确定的市场价格和需求, 企业的成本也是确定的, 成本包括联合启动成本, 单独启动成本, 单位采购成本和库存持有成本, 但是各个周期的参数是变动的。由于有仓储能力的约束, 顾客需求有可能得不到满足, 需求损失 (缺货) 也即产生了收益损失。企业要优化采购计划达到多个周期的收益最大。分析两种仓储约束情况, 其一是两种产品共用仓储能力, 在现实情况中, 如果两种产品对仓储条件 (如温度) 是相同的, 都需要冷鲜或者冷冻, 则两种产品可以同时放在冷鲜仓库或者冷冻仓库中, 此时适用两种产品共用仓储能力情形;其二是两种产品有各自的仓储能力约束, 如果两种产品对仓储条件的要求是不同的, 需要分别存储, 则适用各自的仓储能力约束情形。

有大量的文献研究库存能力约束下的动态批量问题, 与本文相关的库存能力约束下且允许缺货 (需求损失) 情况存在的动态批量文献主要有:Liu等 (2007) [11];Liu (2008) [12];Liu和Tu (2008) [13]在假设单位生产 (采购) 成本不增或者缺货成本不增的情况下, 研究了库存能力约束和允许缺货条件下动态批量决策问题, 给出多项式时间的前向动态规划算法求解。Hwang等 (2013) [14]拓展了Liu[11,12,13]的系列研究, 没有假设单位成本不增和缺货成本不增, 同样在最优解性质的基础上, 给出了多项式时间的前向动态规划算法。Chu等 (2004) [15];Chu和Chu (2007) [16];Chu和Chu (2008) [17];Chu等 (2013) [18];Zhong等 (2016) [19]研究了库存能力约束下, 允许缺货和延迟交货情况下动态批量问题, 同时指出缺货 (需求损失) 可以视为生产 (采购) 外包 (outsouring) 。另外允许缺货的动态批量的英文文献还有:Sandbothe和Thompson (1990) [20];Sandbothe和Thompson (1993) [21];Aksen等 (2003) [22];Aksen (2007) [23];Berk等 (2008) [24];Absi和Sidhoum (2008) [25];Absi等 (2011) [26];Wang等 (2011) [27];Narenji等 (2011) [28];Gayon等 (2016) [29]。国内文献研究允许缺货情况存在的动态批量问题主要有:黄玲等 (2007, 2008) [30,31];钟金宏等 (2010) [32];王能民等 (2011) [33];徐娟等 (2014) [34], 但不是采用缺货和需求损失的概念, 而是采用生产外包的概念。以上动态批量的文献都是针对耐用品问题, 而没有考虑时间依赖的库存损失率和库存持有成本的两种易逝品联合采购问题。国内学者在易逝 (腐) 品库存控制等[35,36,37]方面也有大量研究, 但都是研究连续时间下易逝品库存控制, 没有涉及易逝品周期性库存控制。

本文第1节建立利润最大化模型并转化为为相对应的成本最小化模型, 第2节研究在两产品共用仓储能力情形下最优解的结构性质, 在此基础上设计动态规划算法求解问题, 第3节研究了两产品共用仓储能力情形下无投机性动机成本的特殊情况, 第4节给出了两产品在单独仓储能力约束情形下的结果分析, 第5节是结论及未来研究的拓展方向。

在模型构建中需要定义如下符号:

T:时间周期;

P (t) :t周期问题, 1≤t≤T;

dtn:第t期期初产品n的需求, 1≤t≤T, n=1, 2;

Xtn:第t期期初产品n的采购 (生产) 数量, 1≤t≤T, n=1, 2;

Znit:第i期期初采购的产品n用以满足周期t的需求的数量, 1≤i≤t!T, n=1, 2;

Init:第i期期初采购的产品n持有到t周期期初, 减去Znit数量用以满足第t期的需求之后的库存数量, 1≤i≤t≤T, n=1, 2;

Ltn:第t期产品n的需求损失 (缺货) 数量, 1≤t≤T, n=1, 2;

ctn:第t期期初产品n的单位采购成本, 1≤t≤T, n=1, 2;

hnit:第t期持有Init数量的单位库存成本, 1≤i≤t≤T, n=1, 2;

Kt:第t期期初采购产品的联合启动成本, 1≤t≤T;

σtn:第t期期初采购产品n的单独启动成本, 1≤t≤T, n=1, 2;

αnit:库存Init在第t期的损失率, 1≤i≤t!T, n=1, 2;

ptn:第t期产品n的市场价格, 1≤t≤T, n=1, 2;

Imax:两产品共用仓储能力下各周期仓储能力, 1≤t≤T;

Inmax:单独仓储能力约束下产品n的各周期仓储能力, 1≤t≤T, n=1, 2;

正如Hsu (2000) 所指出的, 在现实情况中, 易逝品库存持有的时间越长, 损失率和库存持有成本越大,

因此有如下假设成立:

假设1:αnit≥αnjt, 1≤i≤j≤t≤T, n=1, 2;

假设2:hnit≥hnjt, 1≤i≤j≤t≤T, n=1, 2。

根据Aksen等 (2003) 的研究, 假设企业毛利润大于0, 即市场价格大于企业单位采购成本, 这也是一个合理的假设, 否则企业不进行采购运营是最优策略, 因此有如下假设:

假设3:ptn>ctn, 1≤i≤j≤t≤T, n=1, 2。

不失一般性, 假设初始时期与结束时期两产品库存均为0。若第t期期初同时采购两种产品, 则启动成本为Kt+σt1+σt2, 若第t期期初只生产产品1 (产品2) , 则启动成本为Kt+σt1 (Kt+σt2) 。在以上假设和定义的基础上, 本问题可以用以下优化模型描述, 在有限T周期下, 企业的目标是在T周期内达到利润最大, 目标函数表示为:

整理可得:

因为ptn与dtn均为常数, n=1, 2, t=1, 2, …, T, 则为常数项, 因此利润最大化的目标函数等价于成本最小化的目标函数:

约束条件:

约束条件 (2) 表示在第t期期初采购的产品n的数量减去Zntt数量用以满足t期需求后, 剩下的库存数量为Intt.约束条件 (3) 表示第t-1期的库存与第t期库存之间的关系, 第i期期初采购的产品n持有到t-1期的库存减去t-1期的库存损失以及Znit数量用以满足t期需求后, 剩下的库存数量为Init。约束条件 (4) 表示t期需求由1到t期的采购和缺货之和满足。约束条件 (5) 表示两产品共用仓储能力情形下的仓储能力约束。在两产品单独仓储能力约束下, 式 (5) 为.约束条件 (6) 是非负性约束。约束条件 (7) 表示第t期两产品的缺货数量不能大于其需求。在以下内容中, 令Ω={X, I, Z}代表T-周期问题的一个可行解, V (Ω) 代表相应的目标函数值。

定义, 1≤i≤k<t≤T;Aniii=1。由此定义可得Anikt=AnikqAniqt, k<q<t.又由假设1可得Aikt≤Ajkt, 1≤i<j≤k<t≤T.

第i期期初采购产品n (n=1, 2) 以满足一单位第t (i<t) 期期初产品n的需求, 因为有库存损失, 需要采购Aitni单位产品, 在每一个连续的周期k (i≤k≤t-1) , 持有Aktni单位的库存。

给定T周期问题的最优解, 若Xtn>0, 1≤t≤T, n=1, 2, 则周期t定义为产品n采购点 (Ordering Point) 或者生产点 (Production Point) 。

引理1在T周期问题的最优解Ω*中, 有Xtn*Ltn*=0, t=1, 2, …, T, n=1, 2。

证明证明见Aksen等 (2003) 引理1, 略。

无仓储能力约束下, Hsu (2000) 中的研究表明, 所研究的问题等价于带有网络流损失的最小成本网络流问题, 利用网络流的性质表明, 某一周期的需求仅仅由一个周期的生产满足, 但是如果有库存能力的约束, 这一性质不再成立。因此研究定理1所述性质。

令满足的所有周期t′ (i≤t′≤t) 组成的集合为Unti, n=1, 2。

定理1在T周期问题的最优解Ω*中, 对于产品n (n=1, 2) 和每一周期i, 1≤i≤t≤T, 有如下性质成立:

证明 (1) 由约束 (2) 、 (3) 和 (4) 可得, 又由约束 (5) 可得.又由引理1可得:若Xni>0, 则Lni=0, 因此Xni的最大取值满足.运用反证法, 假设定理1 (1) 不成立, 即:

也即有

令, 从假设可得Δ>0。构造如下两个可行解Ω**和Ω***, 令:

可行解Ω**和Ω***中的其余变量与最优解Ω*中的一致。这两个可行解的成本不会低于最优解的成本, 因此可得:V (Ω**) -V (Ω*) ≥0和V (Ω***) -V (Ω*) ≥0, 化简整理可得:

整理 (8) 和 (9) 两式可得:

当且仅当Δ=0时, [·]内表达式取任意值都有 (3) 式成立。与假设Δ>0相矛盾, 因此可得Δ=0, 即成立。

(2) 证明与 (1) 类似, 略。

定理2在T周期问题最优解Ω*中, 假设i<j为产品n (n=1, 2) 的两个采购点, 对于某周期k (k≥j) , 如果Zjkn*>0, 则有Zitn*=0对于任意周期t (k<t≤T) 成立。

证明如果Zjkn*>0, 则有.下面分三种情况讨论分析:

(1) 如果, 则直接可得Zn*it=0。

运用反证法, 在T周期问题中, 假设存在一个最优解Ω+, 有Zjkn+>0和Zitn+>0对于i<j≤k<t≤T成立。令ε=min{Zitn+, Zjkn+/Aktnj}>0, 按照如下规则建立一个新的可行解Ω*:

可行解Ω*中的其他变量与最优解Ω+中的变量一致, 如果ε=Zitn+, 则Zitn*=0;如果ε=Zjkn+/Aktnj, 则Zjkn*=0。下面需要证明V (Ω+) ≥V (Ω*) ,

由假设1和2以及Aktni的定义可得V (Ω+) ≥V (Ω*) 。

在T周期问题中, 假设存在一个最优解Ω+, 有Zn+jk>0和Zn+it>0对于i<j≥k<t≥T成立。令ε=Zn+jk/Anjkt>0, 则可证当Zn*jk=Zn+jk-Anjktε=0时的成本V (Ω*) 小于Zn+jk>0的成本V (Ω+) , 证明过程类似 (2) , 略。

在T周期问题中, 假设存在一个最优解Ω+, 有Z+jk>0和Z+it>0对于i<j≥k<t≥T成立。令ε=Z+it>0, 则可证当Z*it=Z+it-ε=0时的成本V (Ω*) 小于Z+it>0的成本V (Ω+) , 证明过程类似 (ii) , 略。

定理2给企业的启示为:在不同周期采购的易逝品, 按照先进先出的原则管理库存。

通过以上性质的分析, 共用有限仓储能力下两易逝品联合采购动态批量问题可以通过如下动态规划算法求解。

令Qni (I11i, I12i, …, I1ii;I21i, I22i, …, I2ii) 代表产品n (n=1, 2) 在第i期期初的采购数量, 其中两产品在第i期期初的库存水平为时。因此可得:

令Ft (I11t, I12t, …, I1tt;I21t, I22t, …, I2tt) 为1至t周期最小总成本, 包括联合启动成本, 两产品的单独启动成本、变动采购成本、库存持有成本和缺货成本。初始条件为F0 (0, 0) =0, 通过以上定义可得动态规划递推式:

, n=1, 2, 如果有成立, 则称持有库存没有投机性动机;如果有, 则称缺货没有投机性动机。

在持有库存和缺货没有投机性动机的条件下, 在T-周期问题的最优解Ω*中, 有如下性质成立:

(1) 对于任意t, 1<t≤T, 有In*i, t-1Xn*t=0对于所有的i成立, 1≤i<t, n=1, 2。

(2) 对于任意t, 1!t!T, 有In*i, tLn*t=0对于所有的i成立, 1≤i<t, n=1, 2。

(3) 对于任意t, 1≤t≤T, 有Xn*tLn*t=0, n=1, 2。

性质 (1) 说明在持有库存没有投机性动机的条件下, 著名的零库存 (Zero Inventory Ordering) 性质在时间依赖的库存损失率及库存持有成本和库存能力双重约束下仍然成立。性质 (2) 说明某一周期如果库存水平大于0, 则不会有缺货。性质 (3) 同引理1。

在以上三个性质成立的情况下, 设计前向动态规划算法, 令V (t) 为t-周期问题的最优成本, V (i, j, t) 为产品1的最后一个采购点为i, 产品2的最后一个采购点为j时t-周期问题的成本, 若产品1或者产品2在t-周期问题中无生产点, 则定义i=0或j=0, 根据以上定义可得:。下面分类讨论计算动态规划循环式V (i, j, t) ,

在单独仓储能力约束情形下, 引理1和定理2中的性质没有改变。定理1的性质为如下形式:

在T周期问题的最优解Ω*中, 对于产品n (n=1, 2) 和每一周期i, 1≤i≤t≤T, Xin满足如下性质:

在单独仓储能力约束情形下, Qin (I11i, I12i, .., I1ii;I21i, I22i, .., I2ii) 的表达形式为:

动态规划递推式同式 (12) 。

若持有库存和缺货没有投机性动机, 动态规划算法参见第3节, 略。

本文研究了两易逝性产品在仓储能力有限下联合采购动态批量决策问题, 易逝品的库存损失率和库存持有成本函数依赖于库存持有时间, 采购成本函数为固定-线性成本函数, 库存成本和缺货成本函数为线性函数。分析了最优解的结构性质, 在此基础上, 给出了动态规划算法, 同时还分析了无投机性成本结构下最优解的性质, 同时给出更为简洁的前向动态规划算法。

本文可以从以下几个方面进行拓展:一方面, 本文是在线性成本结构下研究最优解的性质, 因而一个有意义的拓展是在非线性成本结构下研究库存能力约束的联合采购问题。另一方面, 本文研究的是仓储能力有限的情形, 如果考虑仓储能力和采购能力双重约束也是一个有意义的拓展。另外, 本文所研究的是需求独立于价格的情况, 研究需求依赖于市场价格情况, 即研究采购定价联合决策, 将运作管理和市场营销两个领域合二为一, 得出更加实用和有意义的结果。